Question

18．已知函数f（x）=e^x，g（x）=ax+b，若对于任意的x都有f（x）≥g（x），则ab的最大值为（　　）

• A． e
• B． $\frac{e}{3}$
• C． $\frac{e}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}e}{2}$

Answer 1

分析 先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．

解答 解：设h（x）=f（x）-g（x），则h′（x）=e^x-a，
若a=0，则h（x）=e^x-b的最小值为h（x）＞-b≥0，
得b≤0，此时ab=0；
若a＜0，则h′（x）＞0，函数单调增，x→-∞，此时h（x）→-∞，不可能恒有h（x）≥0．
若a＞0，则得极小值点x=lna，由h（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna），
ab≤a²（1-lna）=m（a），
现求m（a）的最小值：由m′（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得极小值点a=$\sqrt{e}$，
g（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$，
所以ab的最大值为$\frac{e}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．