Question

9．已知{a_n}是公差d=3的等差数列，且a₁，a₃，a₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式和前n项和；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的中项性质，结合等差数列的通项公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式和求和公式；
（2）对n讨论，当当1≤n≤2，n为整数，可得T_n=-S_n；当n≥3时，a_n＞0，即有T_n=S_n-2S₂，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁，a₃，a₂成等比数列，可得
a₃²=a₁a₂，即为（a₁+2d）²=a₁（a₁+d），
即（a₁+6）²=a₁（a₁+3），解得a₁=-4，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=3n-7；
前n项和为S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{11}{2}$n；
（2）当1≤n≤2，n为整数，可得|a_n|=-a_n，
T_n=-S_n=$\frac{11}{2}$n-$\frac{3}{2}$n²；
当n≥3时，a_n＞0，即有T_n=S_n-S₂-S₂=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{11}{2}$n-2×（-5）
=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{11}{2}$n+10．
则T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{11n}{2}-\frac{3{n}^{2}}{2}，n=1，2}\\{\frac{3{n}^{2}}{2}-\frac{11}{2}n+10，n＞2，n∈N}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的性质，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．