Question

1．已知在△ABC中，设点O是△ABC的外心．求证：$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{B}^{2}}$，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{C}^{2}}$．

Answer 1

分析 利用外心的性质得到向量垂直，结合平面向量的数量积运算可得．

解答 证明：因为点O是△ABC的外心，设AB的中点为D，则OD⊥AB，
所以$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AB}$=0，即$（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AO}）•\overrightarrow{AB}$=0，所以$（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}）•\overrightarrow{AB}$=0，所以$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$；
同理：$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{C}^{2}}$．

点评 本题考查了三角形的外心的性质以及平面向量的运算．