Question

4．已知f（x）是定义在R上的函数，对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x-y）+2f（y）cosx，且f（1）=1，则f（2016π）=0．

Answer 1

分析 利用赋值法判断函数的奇偶性和周期性，将条件进行转化求解即可．

解答 解：令x=y=0得f（0）=f（0）+2f（0）cos0，即f（0）=0，
令x=0，则f（y）=f（-y）+2f（y）cos0=f（-y）+2f（y），
即f（-y）=-f（y），
则函数f（x）为奇函数，令x=$\frac{π}{2}$，
得f（$\frac{π}{2}$+y）=f（$\frac{π}{2}$-y）+2f（y）cos$\frac{π}{2}$=f（$\frac{π}{2}$-y），
则f（$\frac{π}{2}$+y）=f（$\frac{π}{2}$-y）=-f（y-$\frac{π}{2}$）．
即f（y+π）=-f（y），
即f（y+2π）=-f（y+π）=f（y），
即函数f（x）的周期是2π，
则f（2016π）=f（0）=0，
故答案为：0．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据图象函数关系，判断函数的奇偶性和周期性是解决本题的关键．