Question

9．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+x+1，x≤1}\\{5x-2，x＞1}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=m有两个不相等的实数根x₁、x₂，且x₁+x₂＜-1，则实数m的取值范围为（3，13）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，根据分段函数的关系，结合一元二次函数的对称性，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：红色部分，
由x²+x+1=5x-2得x²-4x+3=0得x=1或x=3，
即y=x²+x+1与y=5x-2的交点坐标为（1，3），（3，12），
当x≤1时，y=x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，抛物线的对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
若方程f（x）=m有两个不相等的实数根x₁、x₂，
则m＞$\frac{3}{4}$，
若x₁+x₂＜-1，
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜$-\frac{1}{2}$，
即两个函数的交点（x₁、f（x₁）），（x₂、f（x₂））的中点在x=-$\frac{1}{2}$的左侧，
即当x＞1时，x²+x+1＜5x-2，即1＜x＜3，
此时3＜f（x）＜13，
即3＜m＜13，
故答案为：（3，13）

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用一元二次函数的对称性，利用数形结合是解决本题的关键．