Question

17．已知函数g（x）=a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e）（其中e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值与最小值之和为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{{e}^{2}}$+3
• C． e²-1
• D． e²+$\frac{1}{{e}^{2}}$

Answer 1

分析 由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在$\frac{1}{e}$≤x≤e上有解，构造函数f（x）=2lnx-x²，求出它的值域，得到-a的范围即可得到最值的和．

解答 解：由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在$\frac{1}{e}$≤x≤e上有解．
设f（x）=2lnx-x²，求导得：f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2（1-x）（1+x）}{x}$，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e²，
f（x）_极大值=f（1）=-1，且知f（e）＜f（$\frac{1}{e}$），
故方程-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解等价于2-e²≤-a≤-1．
从而a的取值范围为[1，e²-2]．
即有a的最大值和最小值的和为e²-2+1=e²-1．
故选C．

点评 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，关键是将已知转化为方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解．