Question

18．已知△ABC，若对?t∈R，|$\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}|≥|\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{BC}$|，则△ABC的形状为（　　）

• A． 必为锐角三角形
• B． 必为直角三角形
• C． 必为钝角三角形
• D． 答案不确定

Answer 1

分析 可延长BC到D，使BD=2BC，并连接DA，从而可以得到$\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}$，在直线BC上任取一点E，满足$\overrightarrow{BE}=t\overrightarrow{BC}$，并连接EA，从而可以得到$\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EA}$，这样便可得到$|\overrightarrow{EA}|≥|\overrightarrow{DA}|$，从而有AD⊥BD，这便得到∠ACB为钝角，从而△ABC为钝角三角形．

解答 解：如图，延长BC到D，使BD=2BC，连接DA，则：

$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DA}$；
设$\overrightarrow{BE}=t\overrightarrow{BC}$，则E在直线BC上，连接EA，则：$\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{EA}$；
∵$|\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}|≥|\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{BC}|$；
∴$|\overrightarrow{EA}|≥|\overrightarrow{DA}|$；
∴AD⊥BD；
∴∠ACD为锐角；
∴∠ACB为钝角；
∴△ABC为钝角三角形．
故选：C．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量减法的几何意义，向量长度的概念，以及数形结合解题的方法，钝角三角形的概念．