Question

3．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$．
（Ⅰ）求$f（\frac{π}{6}）$的值；
（Ⅱ）当$x∈[-\frac{π}{2}，0]$时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用特殊角的三角函数值计算即可得解．
（Ⅱ）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由-$\frac{π}{2}$≤x≤0，可得-$\frac{5π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{6}$，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为9分）
解：（I）$f（\frac{π}{6}）$=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{6}$+cos²$\frac{π}{6}$
=$\sqrt{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{4}$，…（3分）
=$\frac{3}{2}$．…（4分）
（II）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，…（2分）
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．…（4分）
因为-$\frac{π}{2}$≤x≤0，
所以-$\frac{5π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{6}$，…（6分）
当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{3}$时，函数取得最小值f（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$．
所以f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$此时x=-$\frac{π}{3}$．…（9分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于基础题．