Question

15．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%．
（Ⅰ）写出水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；
（Ⅱ）要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？（参考数据lg2=0.3010）

Answer 1

分析 （Ⅰ）设刚开始水中杂质含量为1，根据条件即可写出水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；
（Ⅱ）建立不等式关系，利用取对数法进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设刚开始水中杂质含量为1，
第1次过滤后，y=1-20%，
第2次过滤后，y=（1-20%）（1-20%）=（1-20%）²，
第3次过滤后，y=（1-20%）²（1-20%）=（1-20%）³，
…
第x次过滤后，y=（1-20%）^x=0.8^x，．
∴水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；y=（1-20%）^x=0.8^x，（x≥1且x∈N）．
（Ⅱ）由题意列式0.8^x＜5%，两边取对数得x＞log_0.80.05=$\frac{lg2+1}{1-3lg2}$=$\frac{0.3010+1}{1-3×0.301}$=$\frac{1.301}{0.903}$≈13.4．
故x≥14．
∴至少需要过滤14次．

点评 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系以及利用对数法是解决本题的关键．