Question

13．设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=1，求出p，q成立的等价，利用p∧q为真，即可求实数x的取值范围；
（Ⅱ）根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，若命题p为真，则1＜x＜3；若命题q为真，则2＜x＜3，
∵p∧q为真，即p，q都为真，
∴$\left\{\begin{array}{l}2＜x＜3\\ 1＜x＜3\end{array}\right.$，
∴2＜x＜3，即实数F的取值范围是（2，3）．
（2）若若q是p的充分不必要条件，
∵a＞0，a＜x＜3a，
若q是p的充分不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a≥3}\\{a≤2}\end{array}\right.$，则1≤a≤2，
∴a的取值范围是{a|1≤a≤2}．

点评 本题主要考查复合命题以及充分条件和必要条件的应用，比较基础．