Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与AC所成角的余弦值．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥平面PAC．
解：（2）设AC∩BD=O，∵∠BAD=60°，PA=PB=2，
∴BO=1，AO=CO=$\sqrt{3}$，
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则P（0，-$\sqrt{3}$，2），A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{AC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），
设PB与AC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{2}×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴PB与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．