Question

19．设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1；（2）对任意实数x₁，x₂都有f（x₁）f（x₂）+g（x₁）g（x₂）=g（x₁-x₂）．则当n＞2，n∈N^*时，2[f（x）]ⁿ+2[g（x）]ⁿ的最大值为2．

Answer 1

分析 既然对任意实数x₁，x₂都有f（x₁）•f（x₂）+g（x₁）•g（x₂）=g（x₁-x₂），那么分别令x₁=x₂=x，求出f（x）和g（x）的范围，再根据不等式求出即可．

解答 解：令x₁=x₂=x，得：得f²（x）+g²（x）=g（0）=1，
∴f²（x）≤1，∴-1≤f（x）≤1，-1≤g（x）≤1
∴|fⁿ（x）|≤f²（x），|gⁿ（x）|≤g²（x）对n＞2，n∈N^*时恒成立，
[f（x）]ⁿ+[g（x）]ⁿ≤f²（x）+g²（x）=1，
即2[f（x）]ⁿ+2[g（x）]ⁿ的最大值为：2，
故答案为：2．

点评 本题考查赋值法求抽象函数的性质属于中档题．