Question

14．已知函数h（x）=log_a（4-x）-log_a（4+x）（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）判断函数h（x）的奇偶性并加以证明；
（Ⅱ）若a=2，比较h（1）与h（2）的大小，并说明理由；
（Ⅲ）若x∈[-2，2]时，都有h（x）∈[-1，1]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数h（x）的定义域，再判断h（-x）和h（x）的关系即可；（Ⅱ）将a=2代入函数的表达式，计算h（1）-h（2）即可判断；（Ⅲ）通过讨论a的范围，结合对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）函数h（x）为奇函数
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4-x＞0}\\{4+x＞0}\end{array}\right.$，解得：-4＜x＜4（1分）
∴函数h（x）的定义域为（-4，4），关于原点对称，
又h（-x）=${log}_{a}^{（4+x）}$-${log}_{a}^{（4-x）}$=-h（x）（3分）
∴函数h（x）为奇函数．   （4分）
（Ⅱ）∵h（1）-h（2）=（${log}_{2}^{3}$-${log}_{2}^{5}$）-（${log}_{2}^{2}$-${log}_{2}^{6}$）=${log}_{2}^{\frac{9}{5}}$＞${log}_{2}^{1}$=0，
∴h（1）＞h（2）（7分）
（Ⅲ）∵y=4-x在[-2，2]上单调递减，y=4+x在[-2，2]上单调递增（8分）
当0＜a＜1时，
y=${log}_{a}^{（4-x）}$在[-2，2]上单调递增，y=${log}_{a}^{（4+x）}$在[-2，2]上单调递减，
∴函数h（x）在[-2，2]上单调递增，
∴h_max（x）=h（2）=${log}_{a}^{2}$-${log}_{a}^{6}$=${log}_{a}^{\frac{1}{3}}$，
h_min（x）=h（-2）=${log}_{a}^{6}$-${log}_{a}^{2}$=${log}_{a}^{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{log}_{a}^{\frac{1}{3}}≤1}\\{{log}_{a}^{3}≥-1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≤\frac{1}{3}}\\{a≤\frac{1}{3}}\end{array}\right.$⇒0＜a≤$\frac{1}{3}$（10分）
当a＞1时，
y=${log}_{a}^{（4-x）}$在[-2，2]上单调递减，y=${log}_{a}^{（4+x）}$在[-2，2]上单调递增
∴函数h（x）在[-2，2]上单调递减
∴h_min（x）=h（2）=${log}_{a}^{2}$-${log}_{a}^{6}$=${log}_{a}^{\frac{1}{3}}$，
h_max（x）=h（-2）=${log}_{a}^{6}$-${log}_{a}^{2}$=${log}_{a}^{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{{log}_{a}^{3}≤1}\\{{log}_{a}^{\frac{1}{3}}≥-1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≥3}\\{a≥3}\end{array}\right.$⇒a≥3，
综上得，实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{3}$]∪[3，+∞）（12分）

点评 本题考察了函数的奇偶性、单调性问题，考察对数函数的性质，比较函数值的大小，是一道中档题．