Question

9．在△ABC中，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AB}$=m$\overrightarrow{AD}$+n$\overrightarrow{AC}$，则mn=-6．

Answer 1

分析 由已知$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，从而$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，由此能求出mn的值．

解答 解：∵在△ABC中，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）
=$\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AD}$-2$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AB}$=m$\overrightarrow{AD}$+n$\overrightarrow{AC}$，
∴m=3，n=-2．
∴mn=-6．
故答案为：-6．

点评 本题考查向量的线性运算，是基础题，解题时要认真审题，注意加法法则的合理运用．