Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=5，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=7．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）当向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直时，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）对模两边平方，利用两个向量的数量积的定义解得cosθ=$\frac{1}{2}$，即可求出θ的度数；
（2）根据向量垂直，其数量积为0，即可求出k的值．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=5，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=7，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=（$\overrightarrow{a}$）²+（$\overrightarrow{b}$）²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ=9+25+30cosθ=47，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$
∵0°≤θ≤180°，
∴θ=60°；
（2）∵向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0，
∴k|$\overrightarrow{a}$|²-2|$\overrightarrow{b}$|²+（1-2k）|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ=0，
即9k-50+（1-2k）×3×5×$\frac{1}{2}$=0，
解得k=-$\frac{85}{12}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积的运算，向量的垂直的条件，根据三角函数的值求角，属于中档题