Question

17．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bsinA=$\sqrt{3}acosB$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，a+c=6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据条件及正弦定理便可得到$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\sqrt{3}cosB}=\frac{b}{sinB}$，从而可以得到tanB=$\sqrt{3}$，从而得出B的值；
（2）由已知利用余弦定理可求ac的值，利用三角形面积公式即可求值得解．

解答 解：（1）∵bsinA=$\sqrt{3}acosB$．
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\sqrt{3}cosB}=\frac{b}{sinB}$，
∴sinB=$\sqrt{3}$cosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π；
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，b=3，a+c=6，
∴利用余弦定理可得：9=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=36-3ac，解得：ac=9，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×9×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了已知三角函数值求角，以及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、平方和公式的综合应用，属于基础题．