Question

8£®ÒÑÖªÍÖÔ²C£º$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1£¨a£¾b£¾0£©µÄ×ó¡¢ÓÒ½¹µãΪF₁£¬F₂£¬³¤Ö᳤Ϊ8£¬µãPΪֱÏßl£ºx+y=2ÉÏÈÎÒâÒ»µã£¬ÇÒ|PF₁|+|PF₂|µÄ×îСֵΪ4£®
£¨1£©ÇóÍÖÔ²CµÄ±ê×¼·½³Ì£»
£¨2£©ÒÑÖªÖ±Ïßl£ºy=$\frac{1}{2}$x+mÓëÍÖÔ²C½»ÓÚA£¬BÁ½µã£¬ÒÑÖªµãQ£¨2£¬3£©£¬ÇóÖ¤£ºÖ±ÏßAQ¡¢BQ¹ØÓÚÖ±Ïßx=2¶Ô³Æ£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©£¨c£¬0£©¹ØÓÚÖ±Ïßl£ºx+y=2µÄ¶Ô³ÆµãµÄ×ø±êΪ£¨2£¬2-c£©£¬|PF₁|+|PF₂|µÄ×îСֵΪ4£¬¼´¿ÉÇóÍÖÔ²CµÄ±ê×¼·½³Ì£»
£¨2£©Ö±ÏßAQ¡¢BQ¹ØÓÚÖ±Ïßx=2¶Ô³Æ£¬Ö¤Ã÷k_AQ+k_BQ=0¼´¿É£®

½â´ð ½â£º£¨1£©ÓÉÌâÒ⣬2a=8£¬¡àa=4£¬
£¨c£¬0£©¹ØÓÚÖ±Ïßl£ºx+y=2µÄ¶Ô³ÆµãµÄ×ø±êΪ£¨2£¬2-c£©£¬
¡ß|PF₁|+|PF₂|µÄ×îСֵΪ4£¬
¡à$\sqrt{£¨2+c£©^{2}+£¨2-c£©^{2}}$=4£¬
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¡àb=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$£¬
¡àÍÖÔ²CµÄ±ê×¼·½³ÌΪ$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1£»
£¨2£©Ö¤Ã÷£ºÖ±ÏßAQ¡¢BQ¹ØÓÚÖ±Ïßx=2¶Ô³Æ£¬Ö¤Ã÷k_AQ+k_BQ=0¼´¿É£®
Ö±Ïßl£ºy=$\frac{1}{2}$x+mÓëÍÖÔ²CÁªÁ¢£¬¿ÉµÃx²+mx+m²-12=0£¬
¡àx=$\frac{-m¡À\sqrt{48-3{m}^{2}}}{2}$£¬y=$\frac{3m¡À\sqrt{48-3{m}^{2}}}{4}$£¬
¡à£¨3m+$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-12£©£¨-2m-2$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-8£©+£¨3m-$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-12£©£¨-2m+2$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-8£©
=-2£¨3m-12£©£¨2m+8£©-4£¨48-3m²£©=0£¬
¡àk_AQ+k_BQ=0£¬
¡àÖ±ÏßAQ¡¢BQ¹ØÓÚÖ±Ïßx=2¶Ô³Æ£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÍÖÔ²µÄ·½³Ì£¬¿¼²éÖ±ÏßÓëÍÖÔ²µÄλÖùØϵ£¬¿¼²éѧÉú·ÖÎö½â¾öÎÊÌâµÄÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮