Question

3．在a＞0，b＞0的情况下，下面三个结论：
①$\frac{2ab}{a+b}≤\frac{a+b}{2}$； 
②$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}$；  
③$\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$； 
④$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}≥a+b$．
其中正确的是①②③④．

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质判断即可．

解答 解：a＞0，b＞0，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，
∴$\frac{2ab}{a+b}$≤$\frac{a+b}{2}$，
∵a²+b²≥2ab，
∴2（a²+b²）≥（a+b）²，
∴$\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$； 
∵a³+b³=（a+b）（a²+b²-ab）≥ab（a+b），
∴$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}≥a+b$．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了基本不等式性质的应用，属于基础题．