Question

18．已知点A、B、C的坐标分别为A（t，0），B（0，4），C（cosα，sinα），其中t∈R，$α∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$．
（1）若t=4，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-2，求sin（π-α）sin（$\frac{3π}{2}$-α）的值；
（2）记$f（α）=|{\overrightarrow{AC}}|$，若f（α）的最大值为2，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）当t=4时，$\overrightarrow{AC}$=（cosα-4，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-4），由已知 $\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-2可得sinα+cosα=$\frac{3}{4}$，利用同角平方关系可求sinαcosα，对sin（π-α）sin（$\frac{3π}{2}$-α）进行化简，代入即可得解．
（2）由f（α）=|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{（cosα-t）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{{t}^{2}-2tcosα+1}$，由$α∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$可得-1≤cosα≤$\frac{1}{2}$，分①t＞0，②t＜0，两种情况讨论即可求解．

解答 解：（1）∵A（t，0），B（0，4），C（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{AC}$=（cosα-t，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-4），
当t=4时，$\overrightarrow{AC}$=（cosα-4，sinα），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=cosα（cosα-4）+sinα（sinα-4）
=cos²α-4cosα+sin²α-4sinα
=1-4（cosα+sinα）=-2，
∴sinα+cosα=$\frac{3}{4}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{7}{16}$，
∴sin（π-α）sin（$\frac{3π}{2}$-α）=-sinαcosα=$\frac{7}{32}$．
（2）∵f（α）=|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{（cosα-t）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{{t}^{2}-2tcosα+1}$，
∵$α∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
∴-1≤cosα≤$\frac{1}{2}$，
若t＞0，则f（x）_max=$\sqrt{1+{t}^{2}+2t}$=2，
∴t=1，
若t＜0，则f（x）_max=$\sqrt{1+{t}^{2}-t}$=2，
∴t=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，
∴t=1或$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，三角函数的同角平方关系及三角函数的基本关系，向量的数量积的性质及三角函数性质等知识的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．