Question

14．已知集合A={x|1≤x≤5}，集合B={x|2^m≤2^x≤8•2^m}
（1）当m=-1时，求A∩B，A∪B，（∁_RA）∩（∁_RB）；
（2）若B⊆A，求实数m的取值范围；
（3）若A∪∁_RB=R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将m=-1代入集合B，结合集合的交、并、补集的运算性质计算即可；（2）根据B⊆A，得到关于m的不等式组，解出m的范围即可；（3）先求出B的补集，根据并集的定义得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）集合B={x|2^m≤2^x≤8•2^m}={x|m≤x≤m+3}
当m=-1时，B={x|-1≤x≤2}，而集合A={x|1≤x≤5}，
∴A∩B={x|1≤x≤2}，
A∪B={x|-1≤x≤5}，
∁_RA={x|x＞5或x＜1}，∁_RB={x|x＞2或x＜-1}；
∴（∁_RA）∩（∁_RB）={x|x＞5或x＜-1}；
（2）若B⊆A，
则$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m+3≤5}\end{array}\right.$，解得：1≤m≤2；
（3）∵集合B={x|m≤x≤m+3}
∴∁_RB={x|x＞m+3或x＜m}，
若A∪∁_RB=R，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+3≤5}\\{m≥1}\end{array}\right.$，解得：1≤m≤2．

点评 本题考察了集合的交、并、补集的运算，考察集合的包含关系，是一道中档题．