Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、B₁C₁的中点．
（1）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）求证：EF∥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）由BD⊥AC，CC₁⊥平面ABCD，可得BD⊥C₁C，即可证明BD⊥平面ACC₁A₁．
（2）设BC的中点为G，连接EG，FG．可证EG∥AC，EG∥平面ACC₁A₁，同理FG∥平面ACC₁A₁，则平面EGF∥平面ACC₁A₁，由EF?平面EGF，可证EF∥平面ACC₁A₁．

解答 （本题满分12分）
解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴BD⊥AC，CC₁⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，则BD⊥C₁C，
又∵AC∩C₁C=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．…（6分）
（2）设BC的中点为G，连接EG，FG．
∵E、G分别是AB、BC的中点，则EG∥AC，
∵EG?平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，
∴EG∥平面ACC₁A₁，同理FG∥平面ACC₁A₁．
又∵EG∩FG=G，则平面EGF∥平面ACC₁A₁，
∵EF?平面EGF，
∴EF∥平面ACC₁A₁…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．