Question

15．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+2y-4≤0\\ x-y-1≤0\\ x≥1\end{array}\right.$若ax+y≥1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $a≥-\frac{1}{2}$
• B． $a≥\frac{1}{2}$
• C． a≥1
• D． $-\frac{1}{2}≤a≤1$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由ax+y≥1恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．

解答 解：由约束条件作可行域如图，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得C（1，$\frac{3}{2}$ ）．
联立 $\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（2，1）．
在x-y-1=0中取y=0得A（1，0）．
要ax+y≥1恒成立，
则ax+y-1≥0恒成立，
即平面区域都在直线ax+y-1=0的上方，
则满足直线的ax+y-1=0的斜率-a＜0，
且点A的坐标满足不等式ax+y-1≥0即可，
即a-1≥0，得a≥1，
综上a≥1，
故选：C．

点评 本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．