Question

6．已知f（x）=9^x-2a•3^x+3，x∈[-1，1]．
（1）若f（x）的最小值记为h（a），求h（a）的解析式；
（2）是否存在实数m，n同时满足以下条件：
①log₃m＞log₃n＞1；
②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用换元法把复合函数转化成二次函数，进一步利用分段函数求出解析式．
（2）先假设实数m、n存在，再根据已知条件推出矛盾从而得出结论．

解答 解：（1）设t=3^x，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{3}$，3]，
则函数f（x）等价为y=g（t）=t²-2at+3，t∈[$\frac{1}{3}$，3]，
对称轴t=a．
①当a＜$\frac{1}{3}$时，h（a）=g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{2a}{3}$+$\frac{28}{9}$，
②当$\frac{1}{3}$≤a≤3时，h（a）=g（a）=-a²+3，
③当a＞3时，h（a）=g（3）=-6a+12．
则h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}{3}+\frac{28}{9}，}&{a＜\frac{1}{3}}\\{-{a}^{2}+3，}&{\frac{1}{3}≤a≤3}\\{-6a+12，}&{a＞3}\end{array}\right.$．
（2）假设存在m，n使满足①②的条件．
∵log₃m＞log₃n＞1，
∴m＞n＞3，
∵h（a）=12-6a在（3，+∞）上为减函数，而m＞n＞3，
∴h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]，
∵h（a）在[n，m]上的值域为[n²，m²]，
∴h（m）=n²  h（n）=m²，即：12-6m=n²，12-6n=m²，
两式相减得：6（m-n）=（m-n）（m+n），
又m＞n＞3，∴m+n=6，而m＞n＞3时有m+n＞6，矛盾．
故满足条件的实数m，n不存在．

点评 本题主要考查复合函数的解析式的确定，换元法的应用，分段函数的应用，存在性问题的确定，考查学生的运算和推理能力．