Question

12．若sin（$\frac{π}{4}$+α）=sinθ+cosθ，2sin²β=sin2θ，求证：sin2α+2cos2β=3．

Answer 1

分析 运用两角和的正弦公式和平方法，可得sin2α=1+2sin2θ①，再由二倍角的余弦公式，可得1-cos2β=sin2θ②，将②代入①即可得证．

解答 证明：由sin（$\frac{π}{4}$+α）=sinθ+cosθ，得$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα=sinθ+cosθ，
两边平方得，$\frac{1}{2}$（1+sin2α）=1+sin2θ，
即sin2α=1+2sin2θ，①，
由2sin²β=sin2θ得，1-cos2β=sin2θ②，
将②代入①得：sin2α=1+2-2cos2β，得sin2α=3-2cos2β，
即sin2α+2cos2β=3．得证．

点评 本题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的运用，考查平方法和运算能力，属于基础题．