Question

17．已知f（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$在x∈[0，+∞）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数的定义域，即可判断f（x）的奇偶性；
（2）根据增函数的定义，设任意的0＜x₁＜x₂，然后作差，通分，证明f（x₁）＜f（x₂）即可得出f（x）在x∈（0，+∞）内单调递增．

解答 解：（1）∵x∈[0，+∞），
∴f（x）非奇非偶；
（2）设0＜x₁＜x₂，则：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{e}^{{x}_{1}}+{e}^{-{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}-{e}^{-{x}_{2}}}{2}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$•（${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-1）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在x∈（0，+∞）内单调递增．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分．