Question

11．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH中点，PA=AC=2，BC=1．
（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PM与平面AHB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件可以得到BC⊥平面PAC，从而得到AH⊥BC，而根据PA=AC，H为PC的中点可以得到AH⊥PC，这样根据线面垂直的判定定理即可得到AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）可作AD∥BC，这样便可以AD，AC，AP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可求出图形上一些点的坐标，从而求出向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AH}，\overrightarrow{PM}$的坐标．可设平面AHB的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，而根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$便可得出平面AHB的一个法向量，可设PM与平面AHB所成角为θ，而由$sinθ=|cos＜\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{m}＞|=\frac{|\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{PM}||\overrightarrow{m}|}$即可求出sinθ．

解答 解：（Ⅰ）证明：PA⊥底面ABC，BC?平面ABC；
∴PA⊥BC，即BC⊥PA；
又BC⊥AC，AC∩PA=A；
∴BC⊥平面PAC，AH?平面PAC；
∴BC⊥AH，即AH⊥BC；
PA=AC，H为PC的中点；
∴AH⊥PC，PC∩BC=C；
∴AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）过A作AD∥BC，根据题意知，AD，AC，AP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

A（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），H（0，1，1），$M（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$；
∴$\overrightarrow{AB}=（1，2，0），\overrightarrow{AH}=（0，1，1），\overrightarrow{PM}=（0，\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}）$；
设平面AHB的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{m}=y+z=0}\end{array}\right.$；
取y=1，则x=-2，z=-1，∴$\overrightarrow{m}=（-2，1，-1）$；
设PM与平面AHB所成角为θ，则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{10}{4}}•\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{15}}{15}$；
∴PM与平面AHB所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

点评 考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，等腰三角形的中线也是高线，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，平面法向量的概念及求法，能求空间点的坐标，向量夹角余弦的坐标公式，清楚直线和平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角的关系．