Question

1．边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=1，求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$的范围[$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，3-$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 先建立坐标系，根据$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=1，得到点P在x²+y²=2的圆周上，即P在$\widehat{MN}$上，将P的坐标范围表示出来，进而可求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$．

解答 解：以BC中点O为原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，

∵正三角形ABC边长为2，
∴B（-1，0），A（0，$\sqrt{3}$），C（1，0），
设P的坐标为（x，y），
∴$\overrightarrow{PB}$=（-1-x，-y），$\overrightarrow{PC}$=（1-x，-y），
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=x²-1+y²=1，
即点P在x²+y²=2的圆弧即$\widehat{MN}$上，

如图可以求出sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，cosθ=$\frac{\sqrt{10}}{4}$；
β=θ-$\frac{π}{6}$，sinβ=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{8}$，cosβ=$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}}{8}$，
设∠AOP=φ，则-β≤φ≤β，P（$\sqrt{2}$sinφ，$\sqrt{2}$cosφ），
$\overrightarrow{AP}$=（$\sqrt{2}$sinφ，$\sqrt{2}$cosφ-$\sqrt{3}$），
又$\overrightarrow{AB}$=（-1，-$\sqrt{3}$），
所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\sqrt{2}$sinφ-$\sqrt{6}$cosφ+3，-β≤φ≤β，
当φ=-β时，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$最大，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{2}$）×（-$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{8}$）-$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}}{8}$+3=3-$\sqrt{5}$；
当φ=β时，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$最小，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{2}$）×$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{8}$-$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{6}}{8}$+3=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$的范围是[$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，3-$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查了数量积运算，直线和圆的位置关系，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．