Question

3．已知sin（$\frac{x}{2}$）-2cos（$\frac{x}{2}$）=0．
（1）求sin2x的值；
（2）求$\frac{cos2x}{\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）•（1-2si{n}^{2}\frac{x}{2}）}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tan（$\frac{x}{2}$）=2，利用二倍角的正切函数公式可求tanx，由万能公式即可求值sin2x．
（2）利用倍角公式，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解．

解答 解：（1）∵sin（$\frac{x}{2}$）-2cos（$\frac{x}{2}$）=0．
可得：sin（$\frac{x}{2}$）=2cos（$\frac{x}{2}$），解得：tan（$\frac{x}{2}$）=2，
∴tanx=$\frac{2tan（\frac{x}{2}）}{1-ta{n}^{2}（\frac{x}{2}）}$=$\frac{4}{1-{2}^{2}}$=-$\frac{4}{3}$，
∴sin2x=$\frac{2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{2tanx}{1+ta{n}^{2}x}$=$\frac{2×（-\frac{4}{3}）}{1+\frac{16}{9}}$=-$\frac{24}{25}$．
（2）$\frac{cos2x}{\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）•（1-2si{n}^{2}\frac{x}{2}）}$=$\frac{cos2x}{（sinx+cosx）cosx}$=$\frac{cosx-sinx}{cosx}$=$\frac{-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$=$\frac{7}{3}$．

点评 本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．