Question

18．设直线y=t与曲线C：y=x（x-3）²的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：
①abc的取值范围是（0，4）；
②a²+b²+c²为定值；
③c-a有最小值无最大值．
其中正确结论的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 作出f（x）=x（x-3）²的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c-a的变化情况，构造函数g（x）=x（x-3）²-t，根据根与系数的关系得出abc，a²+b²+c²，c-a的值进行判断．

解答 解：令f（x）=x（x-3）²=x³-6x²+9x，f′（x）=3x²-12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．
当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，
当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．
作出函数f（x）的图象如图所示：
∵直线y=t与曲线C：y=x（x-3）²有三个交点，∴0＜t＜4．
令g（x）=x（x-3）²-t=x³-6x²+9x-t，则a，b，c是g（x）的三个实根．
∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，
∴a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ac）=18．
由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，
∴c-a的值先增大后减小，故c-a存在最大值，不存在最小值．
故①，②正确，
故选：C．

点评 本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．