Question

4．已知（$\sqrt{2+\sqrt{3}}$）^x+（$\sqrt{2-\sqrt{3}}$）^x=4．求x的值．

Answer 1

分析 利用分子有理化，化简两根根式在，利用换元法转化为一元二次方程进行求解即可．

解答 解：∵$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}{2+\sqrt{3}}}$=$\sqrt{\frac{1}{2+\sqrt{3}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$，
∴方程等价为（$\sqrt{2+\sqrt{3}}$）^x+（$\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$）^x=4，
设t=$\sqrt{2+\sqrt{3}}$，则t＞1，
则方程等价为t^x+（$\frac{1}{t}$）^x=4，
即（t^x）²-4t^x+1=0，
则t^x=$\frac{4±\sqrt{16-4}}{2}$=$\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$=2±$\sqrt{3}$，
若t^x=2-$\sqrt{3}$，即（$\sqrt{2+\sqrt{3}}$）^x=（2+$\sqrt{3}$）${\;}^{\frac{x}{2}}$=2+$\sqrt{3}$，
即$\frac{x}{2}$=1，则x=2，
若t^x=2-$\sqrt{3}$，即（$\sqrt{2+\sqrt{3}}$）^x=（2+$\sqrt{3}$）${\;}^{\frac{x}{2}}$=2-$\sqrt{3}$=$\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$=（2+$\sqrt{3}$）^-1，
则$\frac{x}{2}$=-1，则x=-2，
综上所述，x=2或-2．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程是解决本题的关键．