Question

16．已知椭圆的中心在原点，两焦点F₁，F₂在x轴上，且过点A（-4，3）．
（1）若F₁A⊥F₂A，求椭圆的标准方程．
（2）在（1）的条件下，若点P为椭圆上一点，且满足∠F₁PF₂=120°，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 （1）利用F₁A⊥F₂A得到（-4+c，3）•（-4-c，3）=0，可得c．再利用过点A（-4，3），可得$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$=1，解出即可；
（2）根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=4$\sqrt{10}$…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得PF₁²+PF₂²+PF₁•PF₂=100…②．由①②联解，得PF₁•PF₂=60，最后用根据正弦定理关于面积的公式，可得△PF₁F₂的面积．

解答 解：（1）∵F₁A⊥F₂A，∴（-4+c，3）•（-4-c，3）=0，
化为16-c²+9=0，解得c=5，∴a²=b²+25，
∵过点A（-4，3），
∴$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$=1．
∴解得a²=40，b²=15．
故所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{40}+\frac{{y}^{2}}{15}$=1．
（2）∵点P为椭圆上一点，F₁、F₂是焦点，
∴根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=4$\sqrt{10}$…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=120°且F₁F₂=2c=10
∴根据余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos120°=100
即PF₁²+PF₂²+PF₁•PF₂=100…②
∴①②联解，得PF₁•PF₂=60
根据正弦定理，得△PF₁F₂的面积为：S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin120°=15$\sqrt{3}$．

点评 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、正、余弦定理是解题的关键．