Question

8．设两个非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，且$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，若A，B，D三点共线，则k的值为0．

Answer 1

分析 由向量$\overrightarrow{CB}$、$\overrightarrow{CD}$表示出$\overrightarrow{BD}$，再由A，B，D三点共线得出$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{BD}$，从而求出k的值．

解答 解：两个非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$；
又A，B，D三点共线，
∴$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{BD}$，
即2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$，
解得k=0．

点评 本题考查了应用平面向量的共线定理解决三点共线的问题，是基础题目．