Question

3．设直角梯形ABCD，DA⊥AB，在两平行边AB、DC上有两个动点P、Q，直线PQ平分梯形的面积，求证：PQ必过一个定点．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，设B（2，0），C（2a，b），D（0，b），P（m，0），Q（n，b），利用面积关系，可得n=a+1-m，分类讨论，求出直线PQ的方程，即可得出结论．

解答 证明：建立如图所示的坐标系，设B（2，0），C（2a，b），D（0，b），P（m，0），Q（n，b），
则S_OBCD=b（a+1），S_OPQD=$\frac{b（m+n）}{2}$=$\frac{b（a+1）}{2}$
∴n=a+1-m，
m=n时，直线PQ的方程为x=$\frac{a+1}{2}$，∴直线PQ过定点的横坐标为$\frac{a+1}{2}$．
m≠n时，直线PQ的方程为y=$\frac{b}{n-m}$（x-m），令x=$\frac{a+1}{2}$，结合n=a+1-m，可得y=$\frac{b}{2}$，
综上，直线PQ过定点（$\frac{a+1}{2}$，$\frac{b}{2}$）．

点评 本题考查直线PQ过定点，考查解析法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．