Question

9．$\root{5}{5}$，$\root{3}{3}$，$\sqrt{2}$的大小关系是$\root{3}{3}$＞$\sqrt{2}$＞$\root{5}{5}$．

Answer 1

分析 根据根式和指数幂的关系转化为同指数的幂函数，利用幂函数的单调性进行比较即可．

解答 解：$\root{5}{5}$=$\root{15}{{5}^{3}}$=125${\;}^{\frac{1}{15}}$，$\root{3}{3}$=$\root{15}{{3}^{5}}$=243${\;}^{\frac{1}{15}}$，
则125${\;}^{\frac{1}{15}}$＜243${\;}^{\frac{1}{15}}$，
即$\root{5}{5}$＜$\root{3}{3}$，
$\root{3}{3}$=$\root{6}{9}$=9${\;}^{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{2}$=$\root{6}{8}$=8${\;}^{\frac{1}{6}}$，
则9${\;}^{\frac{1}{6}}$＞8${\;}^{\frac{1}{6}}$，
即$\root{3}{3}$＞$\sqrt{2}$，
则$\root{5}{5}$＞$\root{3}{3}$＞$\sqrt{2}$，
$\root{5}{5}$=$\root{10}{25}$，$\sqrt{2}$=$\root{10}{32}$，
则$\root{10}{32}$＞$\root{10}{25}$，即$\sqrt{2}$＞$\root{5}{5}$，
综上$\root{3}{3}$＞$\sqrt{2}$＞$\root{5}{5}$，
故答案为：$\root{3}{3}$＞$\sqrt{2}$＞$\root{5}{5}$

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件转化为幂函数形式，利用幂函数的单调性进行比较是解决本题的关键．