Question

10．在平面直角坐标系xOy中，己知直线y=$\sqrt{3}$被圆C₁：x²+y²+8x+F=0截得的弦长为2．
（1）求圆C₁的方程；
（2）设圆C₁和x轴相交于A，B两点，点P为圆C₁上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆C₂是否经过圆C₁内一定点？请证明你的结论；
（3）若△RST的顶点R在直线x=-1上，S，T在圆C₁上，且直线RS过圆心C₁，∠SRT=30°，求点R的纵坐标的范围．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理及勾股定理利用圆的半径及弦心距列出方程，即可求出F，得到圆的方程；
（2）先令圆方程中y=0分别求出点A和点B的坐标，可设出点P的坐标，分别表示出直线PA和PB的斜率，然后写出直线PA和PB的方程，分别令直线方程中y=0求出M与N的坐标，因为MN为圆C₂的直径，根据中点坐标公式即可求出圆心的坐标，根据两点间的距离公式求出MN，得到圆的半径为$\frac{1}{2}$MN，写出圆C₂的方程，化简后，令y=0求出圆C₂过一定点，再利用两点间的距离公式判断出此点在圆C₁的内部，得证；
（3）设出R的坐标，作C₁F⊥RT于H，设C₁H=d，由题意可知d小于等于半径2，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以C₁R小于等于4，然后利用两点间的距离公式表示出C₁R，列出不等式即可求出点R纵坐标的范围．

解答 解：（1）圆C₁：（x+4）²+y²=16-F，
∵直线y=$\sqrt{3}$被圆C₁：x²+y²+8x+F=0截得的弦长为2，
∴3+1=16-F，∴F=12
∴圆C₁的方程为（x+4）²+y²=4；
（2）令圆的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，则A（-6，0），B（-2，0）
设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则（x₀+4）²+y₀²=4，得到（x₀+4）²-4=-y₀²①
∴k_PA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+6}$，则l_PA：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+6}$（x+6），M（0，$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+6}$）
l_PB：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），N（0，$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）
圆C₂的方程为x²+（y-$\frac{\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）²=（$\frac{\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）²
完全平方式展开并合并，将①代入化简得x²+y²-2（$\frac{\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）y-12=0，
令y=0，得x=±2$\sqrt{3}$，
又点Q（-2$\sqrt{3}$，0），
由Q到圆C₁的圆心（-4，0）的距离d=4-2$\sqrt{3}$＜2，则点Q在圆C₁内，
所以当点P变化时，以MN为直径的圆C₂经过圆C₁内一定点（-2$\sqrt{3}$，0）；
（3）设R（-1，t），作C₁F⊥RT于H，设C₁H=d，
由于∠C₁RH=30°，∴RC₁=2d，
由题得d≤2，
∴RC₁≤4，即$\sqrt{9+{t}^{2}}$≤4，∴-$\sqrt{7}$≤t≤$\sqrt{7}$，
∴点A的纵坐标的范围为[-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$]

点评 本题考查学生灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，会根据直径的两个端点的坐标求出圆的方程以及掌握点与圆的位置关系的判别方法，灵活运用30°的直角三角形的边的关系及两点间的距离公式化简求值，是一道比较难的题．