Question

8．已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，a²+c²+ac=b²，D为AC上一点，且AB⊥BD，若AB=CD，则$\frac{AD}{CD}$=$\root{3}{2}$．

Answer 1

分析 由余弦定理及已知可求B=120°，设AD=y，AB=CD=x，则在△ABD中，利用正弦定理可得：y=$\frac{x}{cosA}$，
在△ABC中，利用正弦定理可得：y=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin（60°-A）}-x$，从而可得$\frac{x}{cosA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin（60°-A）}-x$，化简可得：（2cosA+1）（2cos³A-1）=0，解得cosA=$\frac{\root{3}{4}}{2}$，即可求得$\frac{AD}{CD}$=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{cosA}$=$\root{3}{2}$．

解答 解：∵a²+c²+ac=b²，
∴$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{-ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，可得B=120°，
设AD=y，AB=CD=x，
则在△ABD中，有：$\frac{y}{sin90°}=\frac{x}{sin（90°-A）}=\frac{x}{cosA}$，即：y=$\frac{x}{cosA}$，
在△ABC中，有：$\frac{y+x}{sin120°}$=$\frac{x}{sin（60°-A）}$，解得：y=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin（60°-A）}-x$，
∴$\frac{x}{cosA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{sin（60°-A）}-x$，化简可得：$\sqrt{3}$cosA=（1+cosA）（$\sqrt{3}$cosA-sinA），
整理可得：（1-cos²A）（1+cosA）²=3cos⁴A，
可得：（2cosA+1）（2cos³A-1）=0．
解得：cosA=-$\frac{1}{2}$（舍去），或cosA=$\frac{\root{3}{4}}{2}$．
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{cosA}$=$\frac{1}{\frac{\root{3}{4}}{2}}$=$\root{3}{2}$．
故答案为：$\root{3}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，计算量较大，属于中档题．