Question

13．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，则角B的大小是45°．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|可知$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0，建立平面直角坐标系，设出各点坐标，利用数量积相等列出方程得出直角边的关系，得出∠B的大小．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0，∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$．
以AC，AB为坐标轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），B（0，b），A（0，0）．
则$\overrightarrow{AB}$=（0，b），$\overrightarrow{BC}$=（a，-b），$\overrightarrow{CA}$=（-a，0）．
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$，∴-b²=-a²，∴a=b，
∴△ABC是到腰直角三角形，∴B=45°．
故答案为：45°．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系进行坐标运算是解题关键．