Question

5．过点M（0，2）的直线l与抛物线y²=-4x交于A，B两点，与x轴交于点C，则有（　　）

• A． |MA|+|MB|=2|MC|
• B． |MA|•|MB|=|MC|²
• C． |MA|=|MB|•|MC|
• D． |MA|²=|MB|²+|MC|²

Answer 1

分析 可画出图形，设l的方程为y=kx+2，从而可联立抛物线的方程消去x得到${y}^{2}+\frac{4}{k}•y-\frac{8}{k}=0$，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理即可求出${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4}{{k}^{2}}$，根据图形可以得到$\frac{|MA|}{|MC|}=\frac{-{x}_{1}}{\frac{2}{k}}，\frac{|MC|}{|MB|}=\frac{\frac{2}{k}}{-{x}_{2}}$，这样便可得到$\frac{|MA|}{|MC|}=\frac{|MC|}{|MB|}$，从而找出正确选项．

解答 解：如图，设直线l的方程为y=kx+2，∴$x=\frac{y-2}{k}$，代入抛物线方程并整理得：

${y}^{2}+\frac{4}{k}•y-\frac{8}{k}=0$；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{4}{k}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{8}{k}$；
∴${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{y}_{1}-2}{k}•\frac{{y}_{2}-2}{k}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}{{k}^{2}}=\frac{4}{{k}^{2}}$；
∵$C（-\frac{2}{k}，0）$；
∴$\frac{|MA|}{|MC|}=\frac{-{x}_{1}}{\frac{2}{k}}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{\frac{2}{k}•（-{x}_{2}）}=\frac{\frac{4}{{k}^{2}}}{\frac{2}{k}•（-{x}_{2}）}$，$\frac{|MC|}{|MB|}=\frac{\frac{2}{k}}{-{x}_{2}}=\frac{\frac{4}{{k}^{2}}}{（-{x}_{2}）•\frac{2}{k}}$；
∴$\frac{|MA|}{|MC|}=\frac{|MC|}{|MB|}$；
∴|MA||MB|=|MC|²．
故选：B．

点评 考查直线的点斜式方程，椭圆的标准方程，韦达定理，以及相似三角形对应边的比例关系．