Question

1．已知函数f（x）=$\frac{3}{1+|x|}$+$\frac{3}{1+|x-2|}$，则方程f[f（x）]=$\frac{10}{3}$的实数解的个数是（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 利用换元法，将方程进行转化，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：①当x≥2时，f（x）=$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{1+x-2}$=$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{x-1}$=$\frac{6x}{{x}^{2}-1}$，
设t=f（x），则由f[f（x）]=$\frac{10}{3}$得f（t）=$\frac{10}{3}$，t≥2，
即$\frac{6t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{10}{3}$，
即5t²-9t-5=0，得t=$\frac{9±\sqrt{181}}{10}$，此时t=$\frac{9+\sqrt{181}}{10}$．
②当0＜x＜2时，f（x）=$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{1-x+2}$=$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{3-x}$=-$\frac{12}{{x}^{2}-2x-3}$，
由f（t）=$\frac{10}{3}$，0＜t＜2，
得$-\frac{12}{{t}^{2}-2t-3}$=$\frac{10}{3}$，即5t²-10t+3=0，（0＜t＜2）
得t=$\frac{10+\sqrt{100-4×5×3}}{10}$=$\frac{10+\sqrt{40}}{10}=\frac{10+2\sqrt{10}}{10}$=$\frac{5+\sqrt{10}}{10}$或t=$\frac{5-\sqrt{10}}{10}$（舍）．
③当x≤0时，f（x）=$\frac{3}{1-x}$+$\frac{3}{1-x+2}$=$\frac{3}{1-x}$+$\frac{3}{3-x}$=-$\frac{6（x-2）}{{x}^{2}-4x+3}$，
由f（t）=$\frac{10}{3}$，t≤0，
得$-\frac{6（t-2）}{{t}^{2}-4t+3}$=$\frac{10}{3}$，
即5t²-11t-3=0
得t=$\frac{11+\sqrt{181}}{10}$（舍）或t=$\frac{11-\sqrt{181}}{10}$．
作出f（x）的图象如图：
分别作出y=$\frac{9+\sqrt{181}}{10}$和y=$\frac{5+\sqrt{10}}{10}$和y=$\frac{11-\sqrt{181}}{10}$的图象，
由图象知，共有4个交点，即方程f[f（x）]=$\frac{10}{3}$的实数解的个数有4个，
故选：C．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．