Question

6．已知a＜0，函数f（x）=asin（2x+$\frac{π}{6}$）-a+b，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的值域为[-2，1]．
（]）求a、b的值；
（2）设α、β∈（0，π），且f（α）=-2，f（$\frac{β}{2}$）=-$\frac{8}{5}$，求：sin（α+β），sin（5α+2β），sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得a、b的值．
（2）由条件求得α=$\frac{π}{6}$，由f（$\frac{β}{2}$）=-$\frac{8}{5}$，求得sin（α+β）的值；再根据sin（5α+2β）=sin[$\frac{π}{2}$+（$\frac{π}{3}$+2β）]求得它的值；利用sinβ=sin[（β+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]，计算求得它的值．

解答 解：（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
再根据f（x）的值域为[-2，1]，可得a-a+b=-2，且-2a-a+b=1，
求得a=-1，b=-2．
（2）由以上可得f（x）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1-2=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
故f（α）=-sin（2α+$\frac{π}{6}$）-1=-2，求得 sin（2α+$\frac{π}{6}$）=1，结合α、β∈（0，π），可得α=$\frac{π}{6}$．
∵f（$\frac{β}{2}$）=-sin（β+$\frac{π}{6}$）-1=-$\frac{8}{5}$，求得sin（β+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（α+β）=sin（β+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$．
sin（5α+2β）=sin[$\frac{π}{2}$+（$\frac{π}{3}$+2β）]=cos（2β+$\frac{π}{3}$）=1-2${sin}^{2}（β+\frac{π}{6}）$=1-2•$\frac{9}{25}$=$\frac{7}{25}$．
若β+$\frac{π}{6}$为锐角，则cos（β+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（β+\frac{π}{6}）}$=$\frac{4}{5}$，
sinβ=sin[（β+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（β+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（β+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{3}{5}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{4}{5}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$；
若β+$\frac{π}{6}$为钝角，则cos（β+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（β+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{4}{5}$，
sinβ=sin[（β+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（β+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（β+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{3}{5}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{4}{5}$）•$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，三角恒等变换，属于中档题．