Question

14．已知函数f（x）=tan$\frac{πx}{8}$，x∈（-4，4），则满足不等式（a-1）log${\;}_{（\sqrt{2}+1）}$[f（a-1）+$\sqrt{{f}^{2}（a-1）+1}$]≤2的实数a的取值范围是[-1，3]．

Answer 1

分析 由x∈（-4，4）求出a∈（-3，5），化简f（a-1）+$\sqrt{{f}^{2}（a-1）+1}$，
把原不等式化为（a-1）${log}_{\sqrt{2}+1}$tan$\frac{a+3}{16}$π≤2；
讨论a=3，3＜a＜5以及-3＜a＜3时，对应不等式是否成立，由此求出实数a的取值范围．

解答 解：【解法一】设a-1=t，
y=f（a-1）+$\sqrt{{f}^{2}（a-1）+1}$=f（t）+$\sqrt{{f}^{2}（t）+1}$，
∴函数 y=${log}_{（\sqrt{2}+1）}$[f（t）+$\sqrt{{f}^{2}（t）+1}$]为奇函数，
∴y=t${log}_{（\sqrt{2}+1）}$[f（t）+$\sqrt{{f}^{2}（t）+1}$]为偶函数，
x∈（-4，4）时，a-1∈（-4，4），
∴-3＜a＜5；
综上，实数a的取值范围是[-1，3]．
【解法二】∵x∈（-4，4），∴a-1∈（-4，4），-3＜a＜5，
-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{8}$x＜$\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{2}$＜$\frac{a-1}{8}$π＜$\frac{π}{2}$，
∴cos$\frac{a-1}{8}$π＞0，
∴f（a-1）+$\sqrt{{f}^{2}（a-1）+1}$=$\frac{sin\frac{a-1}{8}π}{cos\frac{a-1}{8}}$+$\frac{1}{cos\frac{a-1}{8}π}$
=$\frac{1+sin\frac{a-1}{8}π}{cos\frac{a-1}{8}π}$
=$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+\frac{a-1}{8}π）}{sin（\frac{π}{2}+\frac{a-1}{8}π）}$
=tan（$\frac{π}{4}$+$\frac{a-1}{16}π$）
=tan（$\frac{a+3}{16}π$），
则不等式（a-1）log${\;}_{（\sqrt{2}+1）}$[f（a-1）+$\sqrt{{f}^{2}（a-1）+1}$]≤2可化为：
（a-1）${log}_{\sqrt{2}+1}$tan$\frac{a+3}{16}$π≤2（*）；
当a=3时，tan$\frac{a+3}{16}$π=tan$\frac{3}{8}$π=$\sqrt{2}$+1，a-1=2，（*）式成立；
当3＜a＜5时，tan$\frac{a+3}{16}$π＞$\sqrt{2}$+1，${log}_{\sqrt{2}+1}$tan$\frac{a+3}{16}$π＞1，且a-2＞2，
（*）式左边大于2，（*）式不成立，3＜a＜5应舍去；
当-3＜a＜3时，0＜tan$\frac{a+3}{16}$π＜$\sqrt{2}$+1，${log}_{\sqrt{2}+1}$tan$\frac{a+3}{16}$π＜1，且-2≤a-1＜2；
（*）式左边小于2，-1≤a＜3时（*）式成立；
综上，实数a的取值范围是[-1，3]．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的化简与求值应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．