Question

2．已知不等式|x+2|+|x-2|＜18的解集为A．
（1）求A；
（2）若?a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x$+\frac{4}{x}$+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分x＜-2，-2≤x≤2，x＞2三种情况去绝对值符号将不等式转化为一元一次不等式求解；
（2）分别求出a+b和x$+\frac{4}{x}$+m的范围，令a+b的最大值小于x$+\frac{4}{x}$+m的最小值即可．

解答 解：（1）①当x＜-2时，-x-2-x+2＜18，解得-9＜x＜-2；
②当-2≤x≤2时，x+2-x+2＜18，恒成立；
③当x＞2时，x+2+x-2＜18，解得2＜x＜9．
综上，不等式|x+2|+|x-2|＜18的解集为（-9，-2）∪[-2，2]∪（2，9）=（-9，9）．
∴A=（-9，9）．
（2）∵a，b∈（-9，9），∴a+b∈（-18，18）．∵a+b＜x$+\frac{4}{x}$+m恒成立，
∴18≤x$+\frac{4}{x}$+m恒成立，∵x∈（0，+∞），∴x+$\frac{4}{x}$+m≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$+m=4+m．
∴18≤4+m，解得m≥14．
∴m的取值范围是[14，+∞）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的性质，函数恒成立问题，属于中档题．