Question

7．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（$\frac{12}{13}$，-$\frac{5}{13}$），∠AOC=α，若|BC|=1，则$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的值为（　　）

• A． $\frac{5}{13}$
• B． $\frac{12}{13}$
• C． -$\frac{5}{13}$
• D． -$\frac{12}{13}$

Answer 1

分析 由条件利用任意角的三角函数的定义求得cos（$\frac{π}{3}$-α）、sin（$\frac{π}{3}$-α）的值，可得cosα和sinα的值，从而求得所给式子的值．

解答 解：∵|BC|=1，点B的坐标为（$\frac{12}{13}$，-$\frac{5}{13}$），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=$\frac{π}{3}$，
又∠AOC=α，∴∠AOB=$\frac{π}{3}$-α，∴cos（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{12}{13}$，-sin（$\frac{π}{3}$-α）=-$\frac{5}{13}$，
∴sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{5}{13}$．
∴cosα=cos[$\frac{π}{3}$-（$\frac{π}{3}$-α）]=cos$\frac{π}{3}$cos（$\frac{π}{3}$-α）+sin$\frac{π}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-α）
=$\frac{1}{2}•\frac{12}{13}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{5}{13}$=$\frac{12+5\sqrt{3}}{26}$，
∴sinα=sin[$\frac{π}{3}$-（$\frac{π}{3}$-α）]=sin$\frac{π}{3}$cos（$\frac{π}{3}$-α）-cos$\frac{π}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-α）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{12}{13}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{13}$=$\frac{12\sqrt{3}-5}{26}$．
∴$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2cos²$\frac{α}{2}$-1）-$\frac{1}{2}$sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα=cos（α+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{12+5\sqrt{3}}{26}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{12\sqrt{3}-5}{26}$=$\frac{5}{13}$，
故选：A．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．