Question

14．下列命题中正确的个数是（　　）
①若λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，则λ=μ=0；
②若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$的投影为|$\overrightarrow{a}$|；
③若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²；
④tan40°tan15°+tan15°tan35°+tan35°tan40°=1；
⑤cos$\frac{π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{4π}{7}$=-$\frac{1}{8}$；
⑥在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则△ABC一定是等腰三角形．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 讨论向量共线和不共线，即可判断①；讨论向量同向共线和反向共线，即可判断②；
由向量垂直的条件：数量积为0，即可判断③；运用两角和的正切公式的变形，即可判断④；
运用二倍角的正弦公式和诱导公式，即可判断⑤；运用诱导公式和两角和的正弦公式，即可判断⑥．

解答 解：对于①，当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线时，若λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，则λ=μ=0，故①错误；
对于②，当向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$同向时，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$的投影为|$\overrightarrow{a}$|，故②错误；
对于③，若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²，故③正确；
对于④，tan40°tan15°+tan15°tan35°+tan35°tan40°=tan15°（tan40°+tan35°）+
tan35°tan40°=tan15°tan75°（1-tan35°tan40°）+tan35°tan40°=1-tan35°tan40°
+tan35°tan40°=1，故④正确；
对于⑤，cos$\frac{π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{4π}{7}$=$\frac{1}{2}$•2sin$\frac{π}{7}$cos$\frac{π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{4π}{7}$•$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$=$\frac{1}{2}$sin$\frac{2π}{7}$cos$\frac{2π}{7}$cos$\frac{4π}{7}$•$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$
=$\frac{1}{4}$sin$\frac{4π}{7}$cos$\frac{4π}{7}$•$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$=$\frac{1}{8}$sin$\frac{8π}{7}$•$\frac{1}{sin\frac{π}{7}}$=-$\frac{1}{8}$，故⑤正确；
对于⑥，在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，即为sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，
即有tanA=tanB，可得A=B，则△ABC一定是等腰三角形，故⑥正确．
综上可得，正确的个数为4．
故选：C．

点评 本题考查向量的共线和数量积的性质的运用，考查三角函数的化简求值，注意运用两角和的正弦公式和二倍角公式，考查三角形的形状的判断，属于中档题．