Question

16．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁侧面的三条对角线AB₁，BC₁，CA₁中，若A₁C⊥AB₁，求证：AB₁⊥BC₁．

Answer 1

分析 取AC的中点O，A₁C₁的中点D，连接OD，以O为原点，分别以OC，OB，OD为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设AB=1，AA₁=x，则可得：$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，0，-x），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x），由A₁C⊥AB₁，解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可证$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，从而证明AB₁⊥BC₁．

解答 证明：如图，取AC的中点O，A₁C₁的中点D，连接OD，以O为原点，分别以OC，OB，OD为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设AB=1，AA₁=x，则可得：A（-$\frac{1}{2}$，0，0），C（$\frac{1}{2}$，0，0），
B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），A₁（-$\frac{1}{2}$，0，x），C₁（$\frac{1}{2}$，0，x），
B₁（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x），
∴可得：$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，0，-x），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x）．
∵A₁C⊥AB₁，
∴$\frac{1}{2}$-x²=0，解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
∵$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=0，
∴AB₁⊥BC₁．得证．

点评 本题主要考查了线面垂直的性质和判定，同时考查了空间想象能力、运算求解的能力、以及转化与划归的思想，属于中档题．