Question

17．平面上一机器人P在行进中始终保持与点F（0，2）的距离比到x轴的距离多2个单位，已知点M（0，-2），当$\frac{|PM|}{|PF|}$的值最大时，$\overrightarrow{PM}$在$\overrightarrow{PF}$上的投影为4．

Answer 1

分析 求出P点的轨迹方程，用P的横坐标x表示出$\frac{|PM|}{|PF|}$，求出$\frac{|PM|}{|PF|}$取最大值时P点坐标，得出$\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{PF}$及其夹角，结合图形计算出投影．

解答 解：设P（x，y），则$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}=|y|+2$，∴x=0，y≤0或y=$\frac{{x}^{2}}{8}$．
当y≤0时，|PM|≤|PF|，∴$\frac{|PM|}{|PF|}$≤1．
当y＞0时，P（x，$\frac{{x}^{2}}{8}$），∴|PM|=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{{x}^{2}}{8}+2）^{2}}$，|PF|=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{{x}^{2}}{8}-2）^{2}}$．
∴（$\frac{|PM|}{|PF|}$）²=$\frac{{x}^{2}+（{\frac{{x}^{2}}{8}+2）}^{2}}{{x}^{2}+（\frac{{x}^{2}}{8}-2）^{2}}$=1+$\frac{1}{\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{4}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}}$≤1+$\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{1}{2}}$=2．当且仅当$\frac{{x}^{2}}{64}=\frac{4}{{x}^{2}}$即x=±4时取等号．
综上，当P=±4时，$\frac{|PM|}{|PF|}$取得最大值．
不妨x=4，则P（4，2），∴△PFM是等腰直角三角形，∴$\overrightarrow{PM}$在$\overrightarrow{PF}$上的投影为|$\overrightarrow{PF}$|=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，轨迹方程，两点间的距离公式，基本不等式，属于中档题．