Question

8．在△ABC中，a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且b=1，c=$\sqrt{3}$，∠C=$\frac{2}{3}$π．
（1）求cosB的值；
（2）求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理列出关系式，把b，c，sinC的值代入求出sinB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值即可；
（2）利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosC的值代入计算即可求出a的值．

解答 解：（1）∵b=1，c=$\sqrt{3}$，∠C=$\frac{2}{3}$π，
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$得：sinB=$\frac{bsinC}{c}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠B为△ABC的内角，且b＜c，即B＜C=$\frac{2}{3}$π，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∵b=1，c=$\sqrt{3}$，∠C=$\frac{2}{3}$π，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+1+a，
整理得：（a-1）（a+2）=0，
解得：a=1或a=-2（舍去），
则a的值为1．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．