Question

已知圆：交轴于两点，曲线是以为长轴，直线：为准线的椭圆．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线必过定点，并求出点的坐标；
（3）如图所示，若直线与椭圆交于两点，且，试求此时弦的长．

Answer 1

（1）（2）（3）

试题分析：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则：
，从而：，故,所以椭圆的标准方程为。  4分
（Ⅱ）设，则圆方程为 
与圆联立消去得的方程为，
过定点。                              …………8分 
（Ⅲ）解法一：设，则,………①
，，即：
代入①解得：（舍去正值），      ，所以，
从而圆心到直线的距离，从而， 16分
点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系的时候，一般采用联立方程组的思想来得到，属于基础题。