Question

18．已知f（x）=|log₂x|，正实数a，b满足f（a）=f（b），且a＜b，若f（x）在区间[a²，b]上的最大值为3，则a+b=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可知0＜a＜1＜b，以及ab=1，再f（x）在区间[a²，b]上的最大值为2可得出f（a²）=2求出a，故可得a+b的值

解答 解：由对数函数的性质知
∵f（x）=|log₂x|正实数a、b满足a＜b，且f（a）=f（b），
∴0＜a＜1＜b，以及ab=1，
又函数在区间[a²，b]上的最大值为3，由于f（a）=f（b），f（a²）=2f（a）
故可得f（a²）=3，即|log₂a²|=3，即log₂a²=-3，即a²=$\frac{1}{8}$，
可得a=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，b=2$\sqrt{2}$，
则a+b=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{9\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查对数函数的值域与最值，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出0＜a＜1＜b，以及ab=1及f（x）在区间[a²，b]上的最大值的位置．根据题设条件灵活判断对解题很重要．