Question

已知a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，若实数M使不等式

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

M

a+b+c

恒成立，则实数M的最大值是（　　）

• A．6+2

  3

• B．5+ 3

  2

• C．6+2

  2

• D．9

Answer 1

分析：由于a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，可设

a

c

=sinα，则

b

c

=cosα，从而将(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)转化为用三角函数指数进行解决．

解答：解：设

a

c

=sinα，则

b

c

=cosα
则(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)=3+

1+(sinα+cosα)(1+sinαcosα)

sinαcosα

设t=sinα+cosα，则1＜t≤

2

，sinαcosα=

t2-1

2

代入得(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)=4+(t-1) +

2

t-1

而f（x）=x+

2

x

，在0＜x≤

2

时单调递减，
所以(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)=4+(t-1) +

2

t-1

≥5+3

2

所以M最大值为5+3

2

故选B

点评：本题以直角三角形为载体，考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，同时考查了恒成立问题的处理．